Question

如下圖所示，在⊙O中，過圓周上一點A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分別為弦AB及AC的中點，連接MN并兩向延長，交圓于P和Q兩點．求證PM＝NQ．

Answer 1

答案：
解析：

證明：作OH⊥PQ于H，則PH＝HQ， 　　連接OM，ON， 　　∵M(jìn)，N分別是弦AB，AC的中點，∴OM⊥AB，ON⊥AC， 　　又∵AB＝AC，∴OM＝ON．∵OH⊥MN，∴MH＝HN，∴PM＝NQ． 　　分析：欲證PM＝NQ，因為PQ為弦，容易聯(lián)想到作弦心距OH，則PH＝HQ．現(xiàn)只要證MH＝HN即可．又M，N分別為弦AB，AC的中點，易知OM＝ON，故原結(jié)論可證． 　　小結(jié)：本例反復(fù)運用垂徑定理及其推論來達(dá)到證題目的，其中不難體會過圓心作弦的垂線(即弦心距)得到平分弦的重要性質(zhì)．