Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸只有一個交點，且系數(shù)a、b滿足條件：．
（1）求y=ax²+bx+c解析式；
（2）將y=ax²+bx+c向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到函數(shù)y=mx²+nx+k，該函數(shù)交y軸于點C，交x軸于A、B（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；
（3）在問題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質求出a=1，b=-2，再由二次函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸只有一個交點，得出一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則判別式△=0，從而求出c的值；
（2）先根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求出y=mx²+nx+k，再分情況討論△ADP是直角三角形時，可能點P為直角頂點，也可能點A為直角頂點，①當點P₁為直角頂點時，點P₁與點B重合，將y=0代入拋物線的解析式，可求出點P的坐標；②當點A為直角頂點時，根據(jù)等腰三角形的性質得出P₂、D₂關于x軸對稱，再由P₂在拋物線上，D₂在直線AC上可求出點P的坐標；
（3）由題（2）知，當點P的坐標為P₁（1，0）時，由于A、P、E三點都在拋物線上，所以不能構成平行四邊形；當點P的坐標為拋物線的頂點Q時，平移直線AP交x軸于點E，交拋物線于點F，當AP=FE時，四邊形PAFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可知對角線AE的中點與PF的中點重合，由P（2，-1）可設F（x，1），再根據(jù)點F在拋物線上列出關于x的方程，解方程即可．
解答：解：（1）∵，
∴a-1=0，b+2=0，
∴a=1，b=-2．
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸只有一個交點，
∴b²-4ac=0，即（-2）²-4×1×c=0，
解得c=1，
故所求拋物線的解析式為y=x²-2x+1；

（2）∵y=x²-2x+1=（x-1）²，
∴將y=（x-1）²向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到函數(shù)y=（x-1-1）²-1，
即y=x²-4x+3．
當△ADP是直角三角形時，分兩種情況：
①如果點P₁為直角頂點時，點P₁與點B重合，如圖，
令y=0，得x²-4x+3=0，
解之得x₁=1，x₂=3，
∵點A在點B的右邊，∴B（1，0），A（3，0），
∴P₁（1，0）；
②如果點A為直角頂點時，∠D₂AP₂=90°，如圖，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，PD∥y軸，
∴∠AD₂P₂=∠ACO=45°，∠AP₂D₂=45°，
∴P₂、D₂關于x軸對稱．
設直線AC的函數(shù)關系式為y=kx+b，
將A（3，0），C（0，3）代入上式，得
，
解得，
∴y=-x+3，
∵D₂在y=-x+3上，P₂在y=x²-4x+3上，
∴設D₂ （x，-x+3），P₂ （x，x²-4x+3），
∴（-x+3）+（x²-4x+3）=0，
整理，得x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3（，不合題意，舍去），
∴當x=2時，x²-4x+3=4-8+3=-1，
∴P₂的坐標為P₂ （2，-1）（即為拋物線頂點），
∴P點坐標為P₁（1，0），P₂（2，-1）；

（3）在問題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形，此時點F的坐標為F₁（2-，1），F(xiàn)₂（2+，1），理由如下：
由題（2）知，當點P的坐標為P₁（1，0）時，不能構成平行四邊形；
當點P的坐標為P₂（2，-1）時，平移直線AP （如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F，當AP=FE時，四邊形PAFE是平行四邊形，
∴AE與PF互相平分，對角線AE的中點與PF的中點重合，
∵P（2，-1），
∴可設F（x，1），
∴x²-4x+3=1，
解得x₁=2-，x₂=2+，
∴點F存在且坐標為F₁（2-，1），F(xiàn)₂（2+，1）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的相關知識，是二次函數(shù)綜合題，涉及到運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解析式的平移規(guī)律，直角三角形、等腰三角形的性質，平行四邊形的判定與性質以及存在性問題的基本思路，綜合性較強，有一定難度．