Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁；再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，得到四邊形A₂B₂C₂D₂…如此進行下去得到四邊形A_nB_nC_nD_n．則四邊形A₃B₃C₃D₃的面積    ，四邊形A_nB_nC_nD_n的面積    ．

Answer 1

【答案】分析：由三角形的中位線的性質(zhì)知，B₁C₁=BD=3，B₁A₁=AC=2，故矩形A₁B₁C₁D₁的面積為6，可以得到故四邊形A₂B₂C₂D₂的面積是A₁B₁C₁D₁的面積的一半，以此類推可得四邊形A₃B₃C₃D₃的面積；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推得，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄�故四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為 12×．
解答：解：點A₁，D₁分別是AB、AD的中點，
∴A₁D₁是△ABD的中位線
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；
由三角形的中位線的性質(zhì)知，B₁C₁=BD=3，B₁A₁=AC=2，
得：四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為6；四邊形A₂B₂C₂D₂的面積為3；
∴四邊形A₃B₃C₃D₃的面積=．
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推得，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br />故四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為：12×．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，以及三角形的中位線的性質(zhì)，處理此類問題，要靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決有關(guān)線段和面積等有關(guān)的問題．