Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，A點的坐標(biāo)為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C．動點P從0點出發(fā)沿0C向C點運動，動點Q從B點出發(fā)沿BA向A點運動，P,Q兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位／秒。設(shè)運動時間為t秒．

    (1)求線段BC的長；

    (2)連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：

    (3)在(2)的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BE¹F¹,使點E的對應(yīng)點E¹落在線段AB上，點F的對應(yīng)點是F¹，E¹F¹交x軸于點G，連接PF、QG，當(dāng)t為何值時，2BQ-PF= QG?

Answer 1

考點：等邊三角形判定與性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和、等腰三角形判定，一元一次方程

分析：（1）由△AOB為等邊三角形得∠ACB=∠OBC=30^0，

 由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC為6 ，從而BC= （2）過點Q作QN∥0B交x軸于點N，先證△AQN為等邊三角形，從而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=t

PN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后 對應(yīng)邊成比例計算得再由EF=BE易得出m與t之間的函數(shù)關(guān)系式

(3)先證△AE’G為等邊三角形，再證∠QGA=90⁰

通過兩邊成比例夾角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通過解方程求出

解答：(1)解：如圖l∵△AOB為等邊三角形  ∴∠BAC=∠AOB=60。

∵BC⊥AB ∴∠ABC=90⁰  ∴∠ACB=30⁰∠OBC=30⁰

∴∠ACB=∠OBC  ∴CO=OB=AB=OA=3

∴AC=6  ∴BC=AC=

(2)解：如圖l過點Q作QN∥0B交x軸于點N

∴∠QNA=∠BOA=60⁰=∠QAN  ∴QN=QA

∴△AQN為等邊三角形

∴NQ=NA=AQ=3-t

∴NON=3- (3-t)=t

∴PN=t+t=2t

∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ

∴

∴∴

∵EF∥x軸

∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30⁰

∴EF=BE∴m=BE=OB-OE

(0<t<3)

(3)解：如圖2

 

 ∴∠AEG=600=∠EAG

  ∴GE¹=GA  ∴△AE’G為等邊三角形

∴∠l=∠2   ∠3=∠4

∵∠l+∠2+∠3+∠4=180⁰∴∠2+∠3=90⁰

即∠QGA=90⁰

 

 

 

 

 

 

  

  

   ∵EF∥OC

  

∵∠FCP=∠BCA   ∴△FCP∽△BCA．

∵2BQ—PF=QG ∴∴t=1∴當(dāng)t=1 時，2BQ—PF=QG