Question

9．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為CB上一點(diǎn)，且滿足CD=CA，連接AD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）若AB=10，BD=2，求CE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若點(diǎn)F是線段CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD，若∠F=30°，求證：CF=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF；
（3）如圖3，設(shè)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F，若∠F=30°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF，AE，DF之間的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設(shè)AC=CD=x．利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，求出CE即可．
（2）如圖2中，作DH⊥CF于H．于△ACE≌△CDH，推出AE=CH，在Rt△DHF中，由∠DHF=90°，∠F=30°，推出HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，即可證明CF=CH+FH=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF．
（3）結(jié)論：CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．如圖3中，作DH⊥FC于H．由△DCH≌△CAE，推出AE=CH，在Rt△DHF中，由∠DHF=90°，∠F=30°，推出HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
即可證明CF=FH-CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．

解答 （1）解：如圖1中，設(shè)AC=CD=x．

在Rt△ACB中，AB=10，AC=x，BC=CD+BD=x+2，
∵AB²=AC²+BC²，
∴10²=x²+（x+2）²，
解得x=6或-8（舍棄），
∴AC=6．
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，
∴CE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

（2）證明：如圖2中，作DH⊥CF于H．

∵∠ACD=∠AEC=∠DHC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠DCH，
在△ACE和∠CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DCH}\\{∠AEC=∠DHC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CDH，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
∴CF=CH+FH=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF．

（3）解：結(jié)論：CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．
理由：如圖3中，作DH⊥FC于H．

同法可證△DCH≌△CAE，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
∴CF=FH-CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．