Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，直線y = -x + 3經(jīng)過頂點(diǎn) B，與y軸交于頂點(diǎn)C，AB // OC.

(1)求頂點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)如 圖2，直線 L 經(jīng)過點(diǎn) C，與直線 AB 交于點(diǎn) M，點(diǎn) O′為點(diǎn) O 關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn),聯(lián) 結(jié) CO′，并延長(zhǎng)交直線AB于第一象限的點(diǎn) D，當(dāng)CD=5 時(shí)，求直線 L的解析式；

(3)在(2)條件下，點(diǎn)P在直線 L上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線OD上運(yùn)動(dòng)，以 P、Q、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B(4,2)；（2）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）或（5,）或（-2,4）.

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,y)，將x=4代入直線解析式即可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而得到B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過C點(diǎn)作CN⊥AB于N，由平行線和對(duì)稱的性質(zhì)可推出∠DCM=∠DMC，進(jìn)而得到CD=MD=5，利用勾股定理求出DN，得到NM=2，易得AM=1，從而得到M點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線L的解析式；

（3）連接OD，先求出OD直線解析式，根據(jù)點(diǎn)P在直線 L上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線OD上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（），在分類討論，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可建立方程求解.

解：(1)∵A(4,0)，AB∥OC，

∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,y)

把x=4代入中，得y=2，

∴B(4,2)；

(2)如圖，過C點(diǎn)作CN⊥AB于N,

∵AB∥OC，

∴∠OCM=∠DMC，

∵點(diǎn) O′為點(diǎn) O 關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)

∴∠DCM=∠OCM，

∴∠DCM=∠DMC

∴CD=MD=5，

∵，當(dāng)x=0時(shí)y=3，

∴OC=3，

∵CN=OA=4，

∴DN=，

∴NM=53=2，

∴AM=AN-NM=3-2=1

∴M(4,1)，

設(shè)直線L解析式y=kx+b把C(0,3)，M(4,1)代入得：

，解得，

∴直線L的解析式為：.

（3）如圖，連接OD，

∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6）

設(shè)OD直線解析式為，將（4,6）代入可得，解得

∴直線OD解析式為，

∵點(diǎn)P在直線 L上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線OD上運(yùn)動(dòng)

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（），

分情況討論：

如圖1所示，當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

，解得，

當(dāng)時(shí)，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）；

如圖2所示，當(dāng)BQ、PC為對(duì)角線時(shí)，同理可得：

，解得，

當(dāng)時(shí)，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5,）；

如圖3所示，當(dāng)BP、CQ為對(duì)角線時(shí)，同理可得：

，解得，

當(dāng)時(shí)，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,4）；

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,2）或（5,）或（-2,4）.