Question

如圖所示，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

(1)試說明EO=FO；

(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請簡要說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)因為CE平分∠ACB， 所以∠2=∠3． 又因為MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠1=∠2，所以OE=OC． 同理∠4=∠5，所以OC=OF，所以OE=OF． (2)當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，如圖所示證明如下：因為無論O在AC上怎樣運動，都有OF=OE，所以四邊形AECF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)． 因為CE是∠ACB的平分線，CF是∠ACD的平分線， 所以，． 因為∠ACB＋∠ACD=180°， 所以∠1＋∠2=90°， 所以四邊形AECF是矩形．

提示：

(1)因為MN∥BC，CE、CF分別是角平分線，所以∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠FCO，所以OE=OC，FO=CO，所以EO=FO． (2)由(1)知EO=FO，當AO=CO時四邊形AECF是平行四邊形，由CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD得∠ECF=90°，所以四邊形AECF是矩形．