Question

（本小題滿分12分）已知：拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C． 其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長（OA<OC）是方程的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線．

（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結(jié)CD，設(shè)BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的長是x²－5x+4=0的根，OA<OC
∴OA=1，OC=4
∵點A在x軸的負半軸，點C在y軸的負半軸
∴A（－1，0） C（0，－4）      
∵拋物線的對稱軸為
∴由對稱性可得B點坐標為（3，0）
∴A、B、C三點坐標分別是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）
（2）∵點C（0，－4）在拋物線圖象上
∴
將A（－1，0），B（3，0）代入得
解之得
∴ 所求拋物線解析式為：
（3）根據(jù)題意，，則
在Rt△OBC中，BC==5
∵，∴△ADE∽△ABC
∴
∴
過點E作EF⊥AB于點F，則sin∠EDF=sin∠CBA=
∴
∴EF=DE==4－m
∴S_△CDE=S_△ADC－S_△ADE
=（4－m）×4（4－m）（ 4－m）
=m²+2m（0<m<4）
∵S=（m－2）²+2， a=<0
∴當m=2時，S有最大值2.
∴點D的坐標為（1，0）. 解析:
略