解:(1)如圖,∵直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B,
∴
,
解得
∴拋物線的解析式為y=x
2+2x+3.
(2)△ABD為直角三角形.
∵拋物線y=-x
2+2x+3的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E,DE⊥y軸于F.
∴可求BD=
,AB=3
,AD=2
.
∴AB
2+BD
2=AD
2.
∴△ABD為直角三角形.
(3)如圖,坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.
分為三種情況:
①以AB為底邊.
過點(diǎn)D作PD∥AB交y軸于點(diǎn)P.
∵可知∠ABO=45°,
∴∠DPO=45°.
∴可求PF=1.
∴PO=5.即點(diǎn)P(0,5).
若過點(diǎn)D作P
1D∥AB交x軸于點(diǎn)P
1 .
同理可求P
1坐標(biāo)為(5,0).
②以AD為底.
過點(diǎn)B作P
2B∥AD交x軸于點(diǎn)P
2 .
利用△ADE∽△P
2BO可求出點(diǎn)P
2的坐標(biāo)為(
,0).
③以BD為底.
過點(diǎn)A作P
3A∥BD交y軸于點(diǎn)P
3 .
∵∠ABD=90°,
∴∠BAP
3=90°.
又∵∠BAO=45°,
∴∠P
3AO=45°.
∴AO=P
3O=3.
∴點(diǎn)P
3的坐標(biāo)為(0,-3).
綜上所述,點(diǎn)P坐標(biāo)分別為(5,0)或(
,0)或(0,5)或(0,-3).
分析:(1)由直線AB的解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);再由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)由(1)的拋物線解析式能求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo),然后求出AB、AD、BD三邊的長(zhǎng),據(jù)此判斷△ABD的形狀.
(3)應(yīng)分三種情況:
①過點(diǎn)D作AB的平行線PD,那么點(diǎn)P為直線PD與x或y軸的交點(diǎn);可先求出∠OPD的度數(shù),根據(jù)這個(gè)特殊度數(shù)來求出OP的長(zhǎng),由此得出點(diǎn)P的坐標(biāo);
②過點(diǎn)B作AD的平行線BP,此時(shí)△OBP、△EDA(如圖)相似,根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出OP的長(zhǎng),據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
③過點(diǎn)A作BD的平行線AP,解題思路同①.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、直角三角形的判定、梯形的判定等綜合知識(shí);最后一題的解題方法較多,還可以先求出另一底的直線解析式,再求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可.