Question

對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

（1）分別判斷函數(shù)y＝（x＞0）和y＝x＋1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

（2）若函數(shù)y＝﹣x＋1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；

（3）將函數(shù)y＝x²（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足≤t≤1？　

Answer 1

（2）∵函數(shù)y＝﹣x＋1的圖象是y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x＝a時(shí)，y＝﹣a＋1，

又邊界值為2，∴﹣a＋1＝2，解得a＝﹣1，

當(dāng)x＝b時(shí)，y＝﹣b＋1，則﹣2≤﹣b＋1≤2，

又b＞a，a＝﹣1，

∴解得﹣1＜b≤3.

（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，x＝0時(shí)，函數(shù)值小于﹣1，

此時(shí)函數(shù)的邊界值t≥1，這與題意不符，∴m≤1.

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝1，即過(guò)點(diǎn)（﹣1，1），

當(dāng)x＝0時(shí)，y_最小＝0，即過(guò)點(diǎn)（0，0），

都向下平移m個(gè)單位，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1－m），（0，﹣m），

由邊界值定義可得≤1－m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，

∴解得0≤m≤或≤m≤1.