Question

如圖①，正方形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），頂點C，D在第一象限，點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向勻速運動，同時，點Q從點E（4，0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，P，Q兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）求正方形ABCD的邊長．
（2）當點P在AB邊上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（s）之間的函數圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求P，Q兩點的運動速度．
（3）求（2）中面積S（平方單位）與時間t（s）的函數關系式及面積S取最大值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）本題須先作BF⊥y軸于F．再求出FB和FA的值即可得出AB的長．
（2）本題須求出點P從點A運動到點B用了多少時間，再根據AB的長即可求出P、Q兩點的運動速度．
（3）本題須先作PG⊥y軸于G，證出△AGP∽△AFB得出S=

1

2

OQ•OG，再把OQ•OG的值代入即可得出S=-

3

10

t2+

19

5

t+20
最后即可得出S有最大值時P點的坐標．

解答：解：（1）作BF⊥y軸于F．
∵A（0，10），B（8，4）
∴FB=8，FA=6，
∴AB=10；

（2）∵點P從A點移動到B點時，△OPQ的面積為28，
由圖2可知，當t=10時，s=28，
∴點P從點A運動到點B用了10s，
∵AB=10，
∴P、Q兩點的運動速度均為每秒一個單位長度．

（3）作PG⊥y軸于G，則PG∥BF．
∴△AGP∽△AFB
∴

GA

FA

=

AP

AB

，即

GA

6

=

t

10

∴GA=

3

5

t，OG=10-

3

5

t，
又∵OQ=4+t，
∴S=

1

2

OQ•OG，
=

1

2

（t+4）（10-

3

5

t），
即：S=-

3

10

t2+

19

5

t+20，
-

b

2a

=-

19 5

2×(- 3 10 )

=

19

3

，
且：

19

3

在0≤t≤10內，
∴當t=

19

3

時，S有最大值，此時GP=

4

5

t=

76

15

，
OG=10-

3

5

t=

31

5

，
∴P（

76

15

，

31

5

）．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，在解題時要注意綜合運用數形結合思想，靈活應用二次函數的圖象和性質是本題的關鍵．