Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB = 4，BC = 5，點(diǎn)P在邊AC上，且，聯(lián)結(jié)BP，以BP為一邊作△BPQ（點(diǎn)B、P、Q按逆時(shí)針排列），點(diǎn)G是△BPQ的重心，聯(lián)結(jié)BG，∠PBG =∠BCA，∠QBG =∠BAC，聯(lián)結(jié)CQ并延長(zhǎng)，交邊AB于點(diǎn)M．設(shè)PC = x，．

（1）求的值；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）延長(zhǎng)BG，交邊PQ于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使DE=BD，連接PE，先證出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再證出△BPE∽△CBA，得出，即可求出.

（2）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使BF=AB，連接QF，過點(diǎn)Q作QH∥AC，交邊AB于點(diǎn)H，可證出，再根據(jù)∠PBC=∠QBF，證出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，，再根據(jù)，得出，從而求出，最后根據(jù)得出，整理即可.

（1）如圖2，延長(zhǎng)BG，交邊PQ于點(diǎn)D，

由點(diǎn)G是△BPQ的重心，可知PD = DQ，

延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使DE = BD，聯(lián)結(jié)PE．

∵ PD = DQ，DE = BD，∠PDE =∠QDB，

∴ △PDE≌△QDB

∴ PE = BQ，∠PED =∠QBD．

∵ ∠QBG =∠BAC，∴ ∠PED =∠BAC．

又∵ ∠PBG =∠BCA，∴ △BPE∽△CBA．

∴

∴

（2）如圖3，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使BF = AB，聯(lián)結(jié)QF，過點(diǎn)Q作QH∥AC，交邊AB于點(diǎn)H．

∵ ，，∴

∵∠PBQ =∠BAC+∠BCA，∠CBF =∠BAC+∠BCA，

∴ ∠PBQ =∠CBF

∴ ∠PBC =∠QBF

∴ △PBC∽△QBF

∴ ∠BCP =∠BFQ，

∵ HQ∥AC，∴ ∠BHQ =∠BAC．

∴ △FQH∽△CBA

∴

∴ ，即

∴

∵ HQ∥AC，∴ ，即

∴ y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.