Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，F是⊙O上一點，連接FO、FB.C為中點，過點C作CD⊥AB，垂足為D，CD交FB于點E，CG∥FB，交AB的延長線于點G.

（1）求證：CG是⊙O的切線；

（2）若BOF=120°，且CE=4,求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為4

【解析】

（1）連接OC，利用垂徑定理得到OC⊥BF，根據(jù)CG∥FB得到∠OCG=90°即可求解；

（2）連接BC，由（1）知，∠COB =60°，得到△OBC為等邊三角形.，由CD⊥OB得到∠OCD=30°，求出EM=CE=2,利用勾股定理求出CM=，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”得OM=CM=，故OC=4，即為半徑長.

（1）證明：連接OC.

∵點C為的中點，

∴,

所以∠COB=∠COF，

因為OB=OF,

所以OC⊥BF，

設(shè)垂足為M，則∠OMB=90°.

因為CG∥FB，

所以∠OCG=∠OMB=90°，

所以CG是⊙O的切線.

（2）解：連接BC.

由（1）知，∠COB=∠COF=∠BOF=60°，

因為OB=OC，

所以△OBC為等邊三角形，∠OCB=60°，

∵CD⊥OB，

∴CD平分∠OCB，

∴∠OCD=30°，

則EM=CE=2,

又OC⊥BF，

所以CM=.

∴OM=CM=，

所以OC=4，即⊙O的半徑為4