Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，OC=

2

，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D，E．
（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），求證：OD+OE=2．
（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)：
①在圖2這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．
②在圖3這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD，OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）求出∠DOC=∠EOC=45°，求出∠DCO=∠DOC，推出OD=DC，根據(jù)OC=

2

求出CD=OD=1，同理OE=CE=1，即可得出答案；
（2）過C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，求出∠NCD=∠ECM，證△CND≌△CME，推出ND=ME，即可得出答案；
（3）過C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，求出∠NCD=∠ECM，證△CND≌△CME，推出ND=ME，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1，∵∠AOB=90°，∠AOB的平分線OM，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°，
∴∠DCO=45°，
∴∠DCO=∠DOC，
∴OD=DC，
∵OC=

2

，
∴CD=OD=1，
同理OE=CE=1，
∴OD+OE=2；


（2）結(jié)論還成立，
證明：過C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，
則∠CND=∠CME=90°，
由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，
∵∠CNO=∠CMO=∠AOB=90°，
∴∠MCN=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠NCD=∠ECM=90°-∠DCM，
在△CND和△CME中

∠CND=∠CME CN=CM ∠NCD=∠MCE

∴△CND≌△CME（ASA），
∴ND=ME，
∴OD+OE=1-MD+1+ME=2，
即結(jié)論還成立；

（3）結(jié)論不成立，是OE-OD=2，
證明：證明：過C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，
則∠CND=∠CME=90°，
由（1）知：ON=CN=OM=CM=1，
∵∠CNO=∠CMO=∠AOB=90°，
∴∠MCN=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠NCD=∠ECM=90°-∠DCM，
在△CND和△CME中

∠CND=∠CME CN=CM ∠NCD=∠MCE

∴△CND≌△CME（ASA），
∴ND=ME，
∴OE-OD=（1+ME）-（ND-1）=2，
即結(jié)論不成立，是OE-OD=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力、猜想能力和推理能力，題目具有一定的代表性，證明過程類似．