Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的兩個(gè)根．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）請(qǐng)求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）如圖，在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，那個(gè)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣4x﹣12=0得x1=﹣2，x2=6，

即A（﹣2，0），B（6，0）

（2）

解：將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6，

得到 ，

解得 ，

即y=﹣ x2+2x+6，

由于y=﹣ x2+2x+6= （x﹣2）2+8，

即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）

（3）

解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于P點(diǎn)，連接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

設(shè)直線AC′解析式為y=kx+n，

則 ，

解得 ，

∴y=x+2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=4，

即P（2，4）．

【解析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0，求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到答案；（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于P點(diǎn)，連接CP，求出C′坐標(biāo)，求出直線AC′解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．