Question

【題目】對于X，Y定義一種新運算F，F（X，Y）＝aX+2bY﹣1（其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算；例如：F（2，1）＝2a+2b﹣1；

（1）F（1，1）＝3，F（2，﹣1）＝1；

①求a和b的值；

②若關于m的不等式組只有三個整數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）若F（X，Y）＝F（Y，X）對于任意實數(shù)X，Y都成立（這里F（X，Y）和F（Y，X）均有意義），求a與b滿足的關系式．

Answer 1

【答案】（1）①a=2,b=1;②﹣9≤k＜﹣5；（2）a＝2b．

【解析】

（1）①根據(jù)定義的新運算T，列出二元一次方程組，解方程組求出a，b的值；
②根據(jù)（1）求出的a，b的值和新運算列出方程組求出m的取值范圍，根據(jù)題意列出不等式，解不等式求出實數(shù)k的取值范圍；
（2）根據(jù)新運算列出等式，得到（a-2b）（X-Y）=0，根據(jù)題意求出a，b應滿足的關系式．

（1）①，

解得，；

②，

解得＜m＜1，

因為原不等式組有3個整數(shù)解，

所以﹣3≤＜﹣2，

解得，﹣9≤k＜﹣5；

（2）T（X，Y）＝aX+2bY﹣1，T（Y，X）＝aY+2bX﹣1，

所以aX+2bY﹣1＝aY+2bX﹣1，

所以（a﹣2b）（X﹣Y）＝0

所以a＝2b．