Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（2，-9）．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，F(xiàn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記△PEF的面積為S，問S取何值時(shí)，相應(yīng)的F點(diǎn)有且只有3個(gè)．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)是1，已知了它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，直接寫成頂點(diǎn)式即可．
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，A、B關(guān)于直線CD對(duì)稱，而C、D關(guān)于x軸對(duì)稱，顯然四邊形ACBD是個(gè)菱形，若直線PE將四邊形ACBD平分成兩個(gè)相等面積的四邊形，那么直線PE必然經(jīng)過AB、CD的交點(diǎn)（或拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)），可根據(jù)這個(gè)條件先求出直線PE的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后就能確定點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）由題意，能構(gòu)成面積相同的△PEF的三角形有且只有三個(gè)，觀察圖示可以發(fā)現(xiàn)，在直線PE上方顯然有兩個(gè)，那么在PE下方有且只有一個(gè)點(diǎn)F，若過點(diǎn)F作直線PE的平行線，那么該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即在直線PE下方的拋物線圖象上，該點(diǎn)到直線PE的距離最大，而PE長不變，那么此時(shí)△PEF的面積最大，即S的值最大，可過點(diǎn)F作y軸的平行線，交直線PE于點(diǎn)H，首先設(shè)出P、H的坐標(biāo)，則PH的長可得，以PH為底、點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為高就能得到S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出S的最大值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為（2，-9），
∴二次函數(shù)的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y軸；
由拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)A、B關(guān)于直線CD對(duì)稱，則：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四邊形ACBD是菱形；
若直線PE將四邊形ACBD平分成兩個(gè)面積相等的四邊形，則直線PE必過AB、CD的交點(diǎn)G（2，0），
設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b（k≠0），將P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b=-5 2k+b=0

，
解得

k= 5 2 b=-5

．
故直線PE：y=

5

2

x-5，聯(lián)立拋物線的解析式，得：

y= 5 2 x-5 y=x2-4x-5

，
解得

x1=0 y1=-5

，

x2= 13 2 y2= 45 4

故點(diǎn)E的坐標(biāo)（

13

2

，

45

4

）．

（3）通過圖示可以發(fā)現(xiàn)，
當(dāng)點(diǎn)F在直線PE上方時(shí)，在直線PE的上方一定有兩個(gè)點(diǎn)F；
當(dāng)點(diǎn)F在直線PE下方時(shí)，若相應(yīng)的F點(diǎn)有且只有3個(gè)，那么直線PE下方的點(diǎn)F只有一個(gè)；過點(diǎn)F作PE的平行線，該直線必與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)F到直線PE的距離最長；
以PE為底、點(diǎn)F到直線PE的距離為高，此時(shí)△PEF的面積最大，即S最大（情況如右圖）；
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x²-4x-5），過點(diǎn)F作FH∥y軸，交直線PE于點(diǎn)H，則H（x，

5

2

x-5），則：
FH=（

5

2

x-5）-（x²-4x-5）=-x²+

13

2

x；
則S=

1

2

×

13

2

×（-x²+

13

2

x）=-

13

4

（x-

13

4

）²+

2197

64

；
綜上，當(dāng)S=

2197

64

時(shí)，相應(yīng)的F點(diǎn)有且只有三個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱性、圖形面積的解法等綜合知識(shí)；（3）題的難度較大，將點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角形面積的最大值問題是解答題目的關(guān)鍵所在．