Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+5與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)．

（1）寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）過點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一動點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D，問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，5）、（5，0）；（2）y＝﹣x2+4x+5；（3）當(dāng)x＝時，其最大值為．此時點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）．

【解析】

（1）y=-x+5，令y=0，則x=5，令x=0，則y=5，即可求解；

（2）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（3）先求出拋物線的對稱軸，然后利用對稱性求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用S四邊形APCD=×AC×PD列出函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解：（1）y＝﹣x+5，令y＝0，則x＝5，

令x＝0，則y＝5，

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，5）、（5，0），

（2）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：，

即拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x+5；

（3）拋物線的對稱軸為x＝＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，5），

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+4x+5），則點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，﹣x+5）

∵AC⊥PD，

∴S四邊形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝﹣2x2+10x，

∵a＝﹣2＜0，∴S四邊形APCD有最大值，

當(dāng)x＝時，其最大值為：．此時點(diǎn)P的坐標(biāo)（，）．