Question

已知： 關于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數，二次函數y=ax²−bx+kc（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1．

1.（1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；

2.（2）求代數式的值；

3.（3）求證： 關于x的一元二次方程ax²−bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數根．

 

 

Answer 1

 

1.解：（1）解：由 kx=x+2，得（k-1） x=2．

依題意 k-1≠0．∴ ．      ……………………………………1分

∵ 方程的根為正整數，k為整數， ∴ k-1=1或k-1=2．

∴ k₁= 2， k₂=3．        …………………………………………………2分

 

2.（2）解：依題意，二次函數y=ax²-bx+kc的圖象經過點（1，0），

       ∴ 0 =a-b+kc，  kc = b-a ．

∴ = …3分

3.（3）證明：方程②的判別式為 Δ=（-b）²-4ac= b²-4ac．   由a≠0， c≠0， 得ac≠0．

證法一：

（ i ）若ac<0， 則-4ac>0． 故Δ=b²-4ac>0． 此時方程②有兩個不相等的實數根．……4分

（ ii ）若ac>0， 由（2）知a-b+kc =0， 故 b=a+kc．

Δ=b²-4ac= （a+kc）²-4ac=a²+2kac+（kc）²-4ac = a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac

=（a-kc）²+4ac（k-1）．     …………………………………………………5分

∵ 方程kx=x+2的根為正實數， ∴ 方程（k-1） x=2的根為正實數．

由 x>0，2>0， 得 k-1>0．              …………………………………6分

∴ 4ac（k-1）>0．   ∵ （a-kc）²³0，

∴Δ=（a-kc）²+4ac（k-1）>0． 此時方程②有兩個不相等的實數根．  …………7分

證法二：

（ i ）若ac<0， 則-4ac>0． 故Δ=b²-4ac>0． 此時方程②有兩個不相等的實數根． ……4分

（ ii ）若ac>0，∵ 拋物線y=ax²-bx+kc與x軸有交點，

∴ Δ₁=（-b）²-4akc =b²-4akc³0． 

（b²-4ac）-（ b²-4akc）=4ac（k-1）．     由證法一知 k-1>0，

∴ b²-4ac> b²-4akc³0．

∴ Δ= b²-4ac>0． 此時方程②有兩個不相等的實數根．   …………………7分

綜上， 方程②有兩個不相等的實數根．

證法三：由已知，，∴

       可以證明和不能同時為0（否則），而，因此．

 

解析:略