Question

（2013•武漢模擬）如圖∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為（　�。�

• A．3
• B．6
• C．

  3 3

  2

• D．3

  3

Answer 1

分析：連接AO并延長，與圓O交于P點，當(dāng)AF垂直于ED時，線段DE長最大，設(shè)圓O與AB相切于點M，連接OM，PD，由對稱性得到AF為角平分線，得到∠FAD為30度，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AO的長，由AO+OP求出AP的長，即為圓P的半徑，由三角形AED為等邊三角形，得到DP為角平分線，在直角三角形PFD中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出PF的長，再利用勾股定理求出FD的長，由DE=2FD求出DE的長，即為DE的最大值．

解答：解：連接AO并延長，與ED交于F點，與圓O交于P點，此時線段ED最大，
連接OM，PD，可得F為ED的中點，
∵∠BAC=60°，AE=AD，
∴△AED為等邊三角形，
∴AF為角平分線，即∠FAD=30°，
在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，
∴OA=2，
∴PD=PA=AO+OP=3，
在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，
∴PF=

3

2

，
根據(jù)勾股定理得：FD=

PD2-PF2

=

3 3

2

，
則DE=2FD=3

3

．
故選D

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．