Question

如圖，MN是⊙O的直徑，QN是⊙O的切線(xiàn)，連接MQ交⊙O于點(diǎn)H，E為上一點(diǎn)，連接ME，NE，NE交MQ于點(diǎn)F，且ME²=EF•EN．

（1）求證：QN=QF；

（2）若點(diǎn)E到弦MH的距離為1，cos∠Q=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：如圖1，

∵M(jìn)E²=EF•EN，

∴=．

又∵∠MEF=∠MEN，

∴△MEF∽△MEN，

∴∠1=∠EMN．

∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，

∴∠2=∠3，

∴QN=QF；

（2）解：如圖2，連接OE交MQ于點(diǎn)G，設(shè)⊙O的半徑是r．

由（1）知，△MEF∽△MEN，則∠4=∠5．

∴=．

∴OE⊥MQ，

∴EG=1．

∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，

∴sin∠GMO=，

∴=，即=，

解得，r=2.5，即⊙O的半徑是2.5．