【題目】如圖1，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC邊于點E，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于點D，且∠BDE=∠CBE．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）延長ED交直線AB于點P，如圖2，若PA=AO，DE=3，DF=2，求的值及AO的長．

【答案】（1）答案見解析；（2），AO=．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理可知∠BAE+∠EBA=90°，由∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，所以∠EBA+∠EBC=90°．

（2）易證OD∥DE，從而可知，易證△EDF∽△BDE，DE2=DFDB，從而可求出DB的長度，由勾股定理可知AB的長度．

試題解析：解：（1）∵AB是直徑，∴∠BAE+∠EBA=90°．∵∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠EBA+∠EBC=90°，∴BC是⊙O的切線；

（2）連接OD．∵BD平分∠ABE，∴∠OBD=∠EBD．∵∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥BE．∵PA=AO，∴．∵∠DEF=∠DBA，∴∠DEF=∠EBD．∵∠EDF=∠EDB，∴△EDF∽△BDE，∴，∴DE2=DFDB，∴DB=，∴由勾股定理可知：AB2=AD2+BD2，∴AB=，∴AO=．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經(jīng)過A（0，﹣1）、B（1，0）兩點，與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)的交點為M，若△OBM的面積為1．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥PM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）x軸上是否存在點Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校開展“陽光體育”活動，決定開設乒乓球、籃球、跑步、跳繩這四種運動項目，學生只能選擇其中一種，為了解學生喜歡哪一種項目，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩張不完整的統(tǒng)計圖，請你結(jié)合圖中的信息解答下列問題：

（1）樣本中喜歡籃球項目的人數(shù)百分比是 ；其所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角的度數(shù)是 ；

（2）把條形統(tǒng)計圖補畫完整并注明人數(shù)；

（3）已知該校有1000名學生，根據(jù)樣本估計全校喜歡乒乓球的人數(shù)是多少？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=AB=2，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，下列結(jié)論：①EF=2BE；②△APE≌△QEB；③FQ=3EQ；④SBFPE=8，其中正確的結(jié)論是______（只填序號）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2k+3）x+k2+2k=0，有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．

（1）求k的取值范圍；

（2）若方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x1x2﹣x12﹣x22=﹣16，求實數(shù)k的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，設AD＝x，△AOB的面積為y．

（1）求∠DBC的度數(shù)；

（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）如圖1，設點P、Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯(lián)結(jié)OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若關于x的三個方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是_____．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點四邊形．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖，當四邊形ABCD變成等腰梯形時，它的中點四邊形是菱形，請你探究并填空：

當四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是 ；

當四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是 ；

當四邊形ABCD變成菱形時，它的中點四邊形是 ；

當四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是 ；

（3）根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，以O為圓心的圓過點C，連接OC，AO延長線交⊙O于點D，OF是∠DOB的平分線，E為OF上一點，連接BE．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）①當∠OEB=_____時，四邊形OCBE為矩形；

②在①的條件下，若AB=4，則OA=_____時，四邊形OCBE為正方形？

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