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(2009•海南)如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng),同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)已知頂點(diǎn)坐標(biāo),又拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),用待定系數(shù)可求出拋物線解析式;
(2)①根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出E點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線ME的解析式,把t知代入驗(yàn)證點(diǎn)P是否在直線ME上;
②最后一問(wèn)設(shè)出P,N坐標(biāo),根據(jù)幾何關(guān)系求出PN,然后分兩種情況討論:(1)PN=0;(2)PN≠0;把求多邊形面積S轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.
解答:解:(1)因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),
故可設(shè)其關(guān)系式為y=a(x-2)2+4(1分)
又∵拋物線經(jīng)過(guò)O(0,0),
∴得a(0-2)2+4=0,(2分)
解得a=-1(3分)
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)2+4,
即y=-x2+4x.(4分)

(2)①點(diǎn)P不在直線ME上.(5分)
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),
又M的坐標(biāo)為(2,4),
設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.
于是得,
解得
所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8.(6分)
由已知條件易得,當(dāng)t=時(shí),OA=AP=,
∴P()(7分)
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8.
∴當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)P不在直線ME上.(8分)
②S存在最大值.理由如下:(9分)
∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上,且N在拋物線上,
∴OA=AP=t.
∴點(diǎn)P,N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,-t2+4t)
∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,
∴PN=-t2+3t(10分)
(�。┊�(dāng)PN=0,即t=0或t=3時(shí),以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形,此三角形的高為AD,
∴S=DC•AD=×3×2=3.(11分)
(ⅱ)當(dāng)PN≠0時(shí),以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形
∵PN∥CD,AD⊥CD,
∴S=(CD+PN)•AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=-(t-2+
其中(0<t<3),由a=-1,0<<3,此時(shí)S最大=.(12分)
綜上所述,當(dāng)t=時(shí),以點(diǎn)P,N,C,D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值,這個(gè)最大值為.(13分)
說(shuō)明:(ⅱ)中的關(guān)系式,當(dāng)t=0和t=3時(shí)也適合.
點(diǎn)評(píng):此題考查用待定系數(shù)求函數(shù)解析式,用到頂點(diǎn)坐標(biāo),第二問(wèn)是研究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,點(diǎn)動(dòng)圖也動(dòng),根據(jù)幾何關(guān)系巧妙設(shè)點(diǎn),把面積用t表示出來(lái),轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng),同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng),同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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①當(dāng)t=時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的△A1B1C1;
(3)作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P.若點(diǎn)P向右平移x個(gè)單位長(zhǎng)度后落在△A1B1C1的內(nèi)部,請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鏁愭径濠勵吅闂佹寧绻傞幉娑㈠箻缂佹ḿ鍘遍梺闈涚墕閹冲酣顢旈銏$厸閻忕偠顕ч埀顒佺箓閻g兘顢曢敃鈧敮闂佹寧妫佹慨銈夋儊鎼粹檧鏀介柣鎰▕閸ょ喎鈹戦鐐毈闁硅櫕绻冮妶锝夊礃閵娧冨箣闂備胶鎳撻顓㈠磻濞戞氨涓嶉柣妯肩帛閳锋垹绱掔€n亜鐨¢柡鈧紒妯镐簻闁靛ǹ鍎查ˉ銏☆殽閻愯尙澧﹀┑鈩冪摃椤︻噣鏌涚€n偅宕屾俊顐㈠暙閳藉鈻庤箛鏃€鐣奸梺璇叉唉椤煤閺嵮屽殨闁割偅娲栫粻鐐烘煏婵炲灝鍔存繛鎾愁煼閹綊宕堕鍕婵犮垼顫夊ú鐔奉潖缂佹ɑ濯撮柧蹇曟嚀缁椻剝绻涢幘瀵割暡妞ゃ劌锕ら悾鐑藉级鎼存挻顫嶅┑顔矫ぐ澶岀箔婢跺ň鏀介柣鎰綑閻忥箓鎳i妶鍡曠箚闁圭粯甯炴晶娑氱磼缂佹ḿ娲寸€规洖宕灒闁告繂瀚峰ḿ鏃€淇婇悙顏勨偓鏇犳崲閹烘绐楅柡宓本缍庣紓鍌欑劍钃卞┑顖涙尦閺屻倝骞侀幒鎴濆Б闂侀潧妫楅敃顏勵潖濞差亝顥堥柍鍝勫暟鑲栫紓鍌欒兌婵敻骞戦崶顒佸仒妞ゆ棁娉曢悿鈧┑鐐村灦閻燂箑鈻嶉姀銈嗏拺閻犳亽鍔屽▍鎰版煙閸戙倖瀚� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆撳礉閵堝洨纾界€广儱鎷戦煬顒傗偓娈垮枛椤兘骞冮姀銈呯閻忓繑鐗楃€氫粙姊虹拠鏌ュ弰婵炰匠鍕彾濠电姴浼i敐澶樻晩闁告挆鍜冪床闂備胶绮崝锕傚礈濞嗘垹鐭嗛柛鎰ㄦ杺娴滄粓鏌¢崶褎顥滄繛灞傚€濋幃鈥愁潨閳ь剟寮婚悢鍛婄秶濡わ絽鍟宥夋⒑缁嬫鍎愰柛鏃€鐟╁璇测槈濡攱鐎婚棅顐㈡祫缁茬偓鏅ラ梻鍌欐祰椤曟牠宕板Δ鍛仭鐟滃繐危閹版澘绠婚悗娑櫭鎾绘⒑閸涘﹦绠撻悗姘卞厴閸┾偓妞ゆ巻鍋撻柣顓炲€垮璇测槈閵忕姈鈺呮煏婢诡垰鍟伴崢浠嬫煟鎼淬埄鍟忛柛鐘崇墵閳ワ箓鏌ㄧ€b晝绠氶梺褰掓?缁€渚€鎮″☉銏$厱閻忕偛澧介悡顖滅磼閵娿倗鐭欐慨濠勭帛閹峰懘宕ㄩ棃娑氱Ш鐎殿喚鏁婚、妤呭磼濠婂懐鍘梻浣侯攰閹活亞鈧潧鐭傚顐﹀磼閻愬鍙嗛梺缁樻礀閸婂湱鈧熬鎷�