Question

【題目】如圖，在矩形A′B′CD中，A′B′=10， B′C=8，以CD為直徑作⊙O．將矩形A′B′CD繞點C旋轉，使所得矩形ABCD′的邊AB與⊙O相切，切點為E．

(1)證明：CE平分∠BCD；

(2)求線段AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OE，利用切線的性質證得OE⊥AB，根據(jù)矩形的性質和旋轉的性質得到∠B=90°，即可證得OE∥BC，利用平行線的性質即可得到結論；

（2）過點O作OF⊥BC于點F，得到四邊形OEBF為矩形，求出OE得到CF，即可根據(jù)勾股定理求出OF，由此得到答案.

（1）連接OE，

∵直線AB與⊙O的相切，

∴OE⊥AB，

在矩形A′B′CD中∠B′=90°，

由旋轉可知∠B=90°，

∴OE∥BC，

∴∠BCE=∠OEC，

∴OE=OC，

∴∠OCE=∠OEC，

∴∠OCE=∠BCE，

即CE平分∠BCD；

（2）過點O作OF⊥BC于點F，

則四邊形OEBF為矩形，

∴BF=OE=10÷2=5，

∴CF=8-5=3，

Rt△OFC中，，

∴AE=AB-BE=AB-OF=10-4=6.