Question

【題目】如圖， 中， ，以為直徑的交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交于．

（1）求證： ；（2）若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）5.

【解析】試題分析: （1）連接BD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根據(jù)切線的判定定理知BC是圓的切線，結(jié)合切線長(zhǎng)定理得到BE=DE，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及等角的余角相等證明DE=CE；

（2）在直角三角形ABC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念以及勾股定理計(jì)算它的三邊．再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．

試題解析: (1)證明：連接BD，

∵AB是直徑,∠ABC=90°，

∴BC是O的切線,∠BDC=90°.

∵DE是O的切線，

∴DE=BE(切線長(zhǎng)定理).

∴∠EBD=∠EDB.

又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，

∴∠DCE=∠CDE，

∴DE=CE.

故DE=BC.

(2)由(1)知，BC=2DE=6.

在Rt△ABC中,AB=BCtanC=6×=3，

AC==9.

∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB.

∴，

∴.

解得AD=5.