已知關于x的方程x2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0有兩個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.a=0
B.a≥0
C.a=-2
D.a>0或a=-2
【答案】分析:分兩種情況推論:當x≤3,方程變?yōu)椋簒2-(a+4)x+a+3=0①,△=(a+4)2-4(a+3)=(a+2)2,x1=1,x2=a+3;當x>3,方程變?yōu)椋簒2+(a-8)x+15-5a=0②,△=(a-8)2-4(15-5a)=(a+2)2,x1=5,x2=3-a;根據(jù)原方程有兩個不同的實數(shù)根,再推論:當a+2=0,方程①,②都有等根,滿足條件;當a+3>3,且3-a<3,即a>0,方程①,②都只有一個根,也滿足條件.由此得到實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:當x≤3,方程變?yōu)椋簒2-(a+4)x+a+3=0①,△=(a+4)2-4(a+3)=(a+2)2,x1=1,x2=a+3;
當x>3,方程變?yōu)椋簒2+(a-8)x+15-5a=0②,△=(a-8)2-4(15-5a)=(a+2)2,x1=5,x2=3-a;
∵原方程有兩個不同的實數(shù)根,
∴方程①,②都有等根,即a+2=0,a=-2;
或方程①,②都只有一個根,即a+3>3,且3-a<3,解得a>0,
所以實數(shù)a的取值范圍是a>0或a=-2.
故選D.
點評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))根的判別式△=b2-4ac.當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.同時考查了絕對值的含義和解一元二次方程.
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