Question

【題目】如圖，在ABCD中，F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝BC，連接DE，CF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）若AB＝4，AD＝10，∠B＝60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）

【解析】

（1）由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對(duì)邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H，構(gòu)造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過(guò)解直角△DCH和在直角△DHE中運(yùn)用勾股定理來(lái)求線段ED的長(zhǎng)度．

證明：（1）在ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴DF=AD．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，
∵DF∥CE，
∴四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H．

在ABCD中，∵∠B=60°，AD∥BC，
∴∠B=∠DCE，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=．
在CEDF中，CE=DF=AD=5，則EH=3．
∴在Rt△DHE中，根據(jù)勾股定理知

DE=．