如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,已知AB=5,BC=6,cosB=數(shù)學公式.點O由點B向點C以每秒1個單位的速度沿BC邊運動,設運動時間為t秒,以O為圓心,OB為半徑的⊙O與AB邊交于點P.
作业宝
(1)求AD的長;
(2)當t=AD時,如圖(2),求BP的長;
(3)點O運動的過程中,過點D的直線DQ與⊙O相切于點Q,交BC于點E,如圖(3),當DQ∥AB時,求t的值.

解:(1)過點A作AE⊥BC于點E,
∵AB=5,cosB=,
∴BE=AB•cosB=3,
∴EC=BC-BE=3,
∵AD∥BC,∠BCD=90°,
∴∠C=∠D=∠AEC=90°,
∴四邊形AECD是矩形,
∴AD=3;

(2)∵AD=3,
∴當t=AD時,OB=3,
過點O作OF⊥BP于點F,
∴BF=BP,
∵cosB=
∴BF=BO•cosB=,
∴BP=;

(3)連接OQ
∵DQ∥AB,AD∥BC,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
∴BE=AD=3,DE=AB=5,
∴CD==4,
∵BO=t,
∴OE=3-t,
∵直線DQ與⊙O相切于點Q,
∴∠OQE=∠C=90°,
∵∠OEQ=∠DEC,
∴△OQE∽△DCE,
,

解得:t=
分析:(1)利用銳角三角函數(shù)關系得出BE的長,進而得出EC的長,即可得出AD的長;
(2)根據(jù)(1)中所求得出BF的長進而得出BP的長;
(3)首先求出CD的長,進而得出△OQE∽△DCE,則,求出t的值即可.
點評:此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì),根據(jù)已知得出△OQE∽△DCE是解題關鍵.
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設AC=2a,BD=2b,請推導這個四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手.)

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(1)求證:PA=PC.
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