Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）．過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點，線段MN運動的時間為ts．

（1）當(dāng)（0≤t≤1）時，PM=____________ ，QN=___________(用t的代數(shù)式表示)；

（2）線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時t的值；若不可能，說明理由；

（3）t為何值時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）PM=t ，QN= （3－t）；（2）t= s；（3）s或s

【解析】

（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm，得AB=4cm，在Rt△APM中和Rt△BNQ中利用正切即可求得PM和QN的值；

（2）當(dāng)PM=QN時，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值；

（3）以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質(zhì)，求得相對應(yīng)的t的值.

（1）△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm，

∴AB=4cm，

經(jīng)過t秒，AM=t，

在Rt△APM中，∠A=60°，

∴PM=AMtan60°=t,

BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t，

∴QN= BNtan30°=（3－t），

故答案為：t；（3－t），

（2）∵AC=2，

∴AB=4，

∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t，

∴QN=BNtan30°=（3﹣t），

由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即t=（3﹣t），

∴t=，

∴當(dāng)t=s時，四邊形MNQP為矩形；

（3）由（2）知，當(dāng)t= s時，四邊形MNQP為矩形，此時PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

除此之外，當(dāng)∠CPQ=∠B=30°時，△QPC∽△ABC，此時 =tan30°=，

∵=cos60°=，

∴AP=2AM=2t，

∴CP=2﹣2t，

∵=cos30°=，

∴BQ= (3﹣t），

又∵BC=2，

∴CQ=2，

∴

，

∴當(dāng)s或s時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.