Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90^o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F(xiàn)點(diǎn)以2cm／秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動，E點(diǎn)同時以1cm／秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒(0<t<5)．

（1）求證：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的長；

（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似；（2）；（3）y的最小值為19

【解析】

試題分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一組直角，即可證得所求的三角形相似；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的長，根據(jù)（1）題所得相似三角形的比例線段，即可求出DC的長；

（3）分析圖象可知：四邊形AFEC的面積可由△ABC、△BEF的面積差求得，分別求出兩者的面積，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最小值．

（1）∵CD∥AB

∴∠BAC=∠DCA 

又∵AC⊥BC，∠ACB=90^o 

∴∠D="∠ACB=" 90^o   

∴△ACD∽△BAC；

（2） 

∵△ACD∽△BAC

∴ ，即，解得：

（3）過點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為G，

 

∴△ACB∽△EGB 

∴  即，解得 

 = =

故當(dāng)t=時，y的最小值為19

考點(diǎn)：三角形相似，解三角形的應(yīng)用

點(diǎn)評：三角形相似是考察的重點(diǎn)，考生要學(xué)會分析三角形相似的基本性質(zhì)，動點(diǎn)和圖形的結(jié)合是�？键c(diǎn).