Question

【題目】（1）如圖①，點(diǎn) M 是正方形 ABCD 的邊 BC 上一點(diǎn)，點(diǎn) N 是 CD 延長線上一點(diǎn)， 且BM=DN，則線段 AM 與 AN 的關(guān)系．

（2）如圖②，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E、F分別在邊 BC、CD上，且∠EAF=45°，判斷 BE，DF，EF 三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）如圖③，在四邊形 ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，點(diǎn)E、F分別在邊 BC、CD 上，且∠EAF=45°，若 BD=5，EF=3，求四邊形 BEFD 的周長．

Answer 1

【答案】（1）結(jié)論：AM=AN，AM⊥AN．理由見解析；（2）BE+DF=EF；（3）四邊形BEFD的周長為11．

【解析】

（1）利用正方形條件證明△ABM≌△ADN，即可推出結(jié)論,

（2）過點(diǎn) A 作 AG⊥AE 交 CD 延長線于點(diǎn) G,證明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF進(jìn)而證明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解題,

（3）過點(diǎn) A 作 AG⊥AE 交 CD 延長線于點(diǎn) G．證明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF進(jìn)而證明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解題.

（1）結(jié)論：AM=AN，AM⊥AN．

理由：∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，

∵BM=DN，

∴△ABM≌△ADN，

∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，

∴∠AMN=∠BAD=90°，

∴AM⊥AN，

（2）如圖②中，過點(diǎn) A 作 AG⊥AE 交 CD 延長線于點(diǎn) G．

∵四邊形 ABCD 為正方形，

∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．

∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．

∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．

∴∠BAE=∠DAG．

在△ABE 和△ADG 中，

，

∴△ABE≌△ADG．

∴AE=AG，BE=DG．

∵∠EAF=45°，AG⊥AE，

∴∠EAF=∠GAF=45°．

在△FAE 和△FAG 中，

，

∴△AEF≌△AGF．

∴EF=FG．

∵FG=DF+DG=DF+BE，

∴BE+DF=EF．

（3）如圖③中，過點(diǎn) A 作 AG⊥AE 交 CD 延長線于點(diǎn) G．

∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°

∴∠ABE=∠ADG，

∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．

∵∠BAE+∠EAD=90°

∴∠BAE=∠DAG．

在△ABE 和△ADG 中，

，

∴△ABE≌△ADG．

∴AE=AG，BE=DG．

∵∠EAF=45°，AG⊥AE，

∴∠EAF=∠GAF=45°．

在△FAE 和△FAG 中，

，

∴△AEF≌△AGF．

∴EF=FG．

∵FG=DF+DG=DF+BE，

∴BE+DF=EF．

∴四邊形BEFD的周長為EF+（BE+DF）+DB=3+3+5=11．