Question

閱讀：定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，如圖，Rt△ABC中，D為AB中點，則CD=AD=BD=．（此定理在解決下面的問題中要用到）
應用：如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN；
（1）延長MP交CN于點E（如圖2）．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；
（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

（1）①證明：∵BM⊥直線a，CN⊥直線a，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠PCE，
∵點P為BC邊中點，
∴BP=PC，
在△BPM和△CPE中，
，
∴△BPM≌△CPE（ASA）；
②∵△BPM≌△CPE，
∴MP=PE，
∵∠MNE=90°，
∴PN=PM；

（2）PM=PN還成立．
理由如下：如圖3，延長MP與NC延長線交于F，
∵BM⊥直線a，CN⊥直線a，
∴BM∥FN，
∴∠BMP=∠PFC，
∵點P為BC邊中點，
∴BP=PC，
在△BMP和△CFP中，
，
∴△BMP≌△CFP（ASA），
∴PM=PF，
∵∠MNF=90°，
∴PM=PN；

（3）四邊形MBCN是矩形，PM=PN還成立．
理由如下：如圖4，∵a∥BC，BM⊥a，CN⊥a，
∴BM∥CN，BM=CN，
∴四邊形MBCN是矩形，
∵點P是BC的中點，
∴BP=CP，
在△BMP和△CMN中，
，
∴△BMP≌△CPN（SAS），
∴PM=PN．
分析：（1）①根據(jù)垂直的定義以及平行線的判定可得BM∥CN，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠MBP=∠PCE，然后利用“角邊角”證明即可；②根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MP=PE，在Rt△MNE中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；
（2）延長MP與NC延長線交于F，然后與（1）同理可證；
（3）根據(jù)矩形的判定解答，再利用“邊角邊”證明△BMP和△CPN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，矩形的判定，讀懂題目信息并靈活運用，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．