Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)?ABCD的頂點(diǎn)A、D，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得反比例函數(shù)解析式，作AE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，由條件可證明△AEB≌△CFD，可求得CF，則可求得D點(diǎn)縱坐標(biāo)，再把D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
如圖，作AE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，延長(zhǎng)AD交x軸于點(diǎn)N，延長(zhǎng)DA，
∵A點(diǎn)在雙曲線y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=（1-$\sqrt{5}$）×（1+$\sqrt{5}$）=1-5=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{x}$，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=DC，
∴∠MAE=∠DNC=∠BCO，且∠BAD=∠DCB，
∵∠MAE+∠EAB+∠DAB=∠DCF+∠DCB+∠BCO=180°，
∴∠DCF=∠EAB，
在△AEB和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴DF=BE，
∴A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），
∴OB=1，OE=1+$\sqrt{5}$，
∴BE=OE-OB=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\sqrt{5}$，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\sqrt{5}$，
又點(diǎn)D在雙曲線上，
∴$\sqrt{5}$=-$\frac{4}{x}$，解得x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用條件證得△AEB≌△CFD求得DF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．