20.已知:如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C點(diǎn)重合),∠ADE=45°
(1)求證:△ABD∽△DCE.
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的什么位置時(shí),AE的長度最短?請說明理由,并求出AE的最短長度是多少?

分析 (1)先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°,再利用三角形內(nèi)角和得到∠1+∠2=135°,利用平角定義得到∠2++∠3=135°,則∠1=∠3,于是可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到結(jié)論;
(2)由△ABD∽△DCE,對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)根據(jù)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出其最小值.

解答 (1)證明:∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,
∴∠1+∠2=180°-∠B=135°,
∵∠ADE=45°,
∴∠2+∠3=135°,
∴∠1=∠3,
∵∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE;

(2)解:由(1)得△ABD∽△DCE,
∴$\frac{BD}{EC}=\frac{AB}{CD}$,
∵∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴BC=$\sqrt{2}$,DC=$\sqrt{2}$-x,EC=1-y,
∴$\frac{x}{1-y}=\frac{1}{\sqrt{2}-x}$,
∴y=x2-$\sqrt{2}$x+1(0<x$<\sqrt{2}$);

(3)解:∵y=x2-$\sqrt{2}$x+1=${(x-\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$$+\frac{1}{2}$,
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí),y有最小值為$\frac{1}{2}$,
即BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí),AE的最短長度是$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)定理和等腰直角三角形的性質(zhì),綜合運(yùn)用相似三角形的判定及性質(zhì)定理和二次函數(shù)的最值是解答此題的關(guān)鍵.

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