Question

    如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．

   （1）求證：KE=GE；

   （2）若=KD·GE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；

   （3） 在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。

解答：解：（1）如答圖1，連接OG．x kb 1.com

∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由為：

連接GD，如答圖2所示．

∵KG²=KD•GE，即=，

∴=，又∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）連接OG，OC，如答圖3所示．

sinE=sin∠ACH=，設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH²+HK²=AK²，

即（3t）²+t²=（）²，解得t=．

設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，

即（r﹣3t）²+（4t）²=r²，解得r=t=．

∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，

∴FG===．