Question

【題目】八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．
（1）【探究與發(fā)現(xiàn)】 如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形
（2）【理解與應(yīng)用】 填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，則x的取值范圍是
（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，QC=BC，求證：AQ=2AD．

Answer 1

【答案】
（1）△ACD≌△EBD
（2）1＜x＜4
（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)AD到M，使MD=AD，連接BM，

∴AM=2AD，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在△BMD與△CAD中，

，

∴△BMD≌△CAD，

∴BM=CA，∠M=∠CAD，

∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，

∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，

∵∠ACQ=180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°﹣（∠BAM+∠M），

∴∠ACQ=∠MBA，

∵QC=BC，

∴QC=AB，

在△ACQ與△MBA中，

，

∴△ACQ≌△MBA，

∴AQ=AM=2AD．

【解析】（1.）證明：在△ADC與△EDB中， ，
∴△ADC≌△EDB；
所以答案是：△ADC≌△EDB；
（2.）解：如圖2，

延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ=PE，連接FQ，
在△PDE與△PQF中，
，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，
即5﹣3＜2x＜5+3，
∴x的取值范圍是1＜x＜4；
所以答案是：1＜x＜4；