如圖，拋物線y=-數(shù)學(xué)公式x2+數(shù)學(xué)公式x-4與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．P是拋物線在x軸上方的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）．分別過點(diǎn)A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點(diǎn)MD、ME．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果），并證明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（3）若將“P是拋物線在x軸上方的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個動點(diǎn)”，其他條件不變，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）；若不能，說明理由．

解：（1）拋物線解析式為y=-x2+x-4，令y=0，
即-x2+x-4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．
如答圖1所示，分別延長AD與EM，交于點(diǎn)F．

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE．
在△AMF與△BME中，
，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即點(diǎn)M為Rt△EDF斜邊EF的中點(diǎn)，
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形．

（2）答：能．
拋物線解析式為y=-x2+x-4=-（x-3）2+，
∴對稱軸是直線x=3，M（3，0）；
令x=0，得y=-4，∴C（0，-4）．
△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知點(diǎn)E、M、B在一條直線上，
而點(diǎn)B、M在x軸上，因此點(diǎn)E必然在x軸上，
由DE⊥BE，可知點(diǎn)E只能與點(diǎn)O重合，即直線PC與y軸重合，
不符合題意，故此種情況不存在；
②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在；
③若EM⊥DM，如答圖2所示：

設(shè)直線PC與對稱軸交于點(diǎn)N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．
在△ADM與△NEM中，

∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA．
拋物線解析式為y=-x2+x-4=-（x-3）2+，故對稱軸是直線x=3，
∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，2）．
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，∵點(diǎn)N（3，2），C（0，-4）在拋物線上，
∴，解得k=2，b=-4，∴y=2x-4．
將y=2x-4代入拋物線解析式得：2x-4=-x2+x-4，
解得：x=0或x=，
當(dāng)x=0時，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=時，y=2x-4=3．
∴P（，3）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（，3）．

（3）答：能．
如答題3所示，設(shè)對稱軸與直線PC交于點(diǎn)N．
與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M．

∵M(jìn)D⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB．
在△DMN與△EMB中，

∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB．
∴N（3，-2）．
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，∵點(diǎn)N（3，-2），C（0，-4）在拋物線上，
∴，解得k=，b=-4，∴y=x-4．
將y=x-4代入拋物線解析式得：x-4=-x2+x-4，
解得：x=0或x=，
當(dāng)x=0時，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=時，y=x-4=．
∴P（，）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△AMF≌△BME，得到點(diǎn)M為為Rt△EDF斜邊EF的中點(diǎn)，從而得到MD=ME，問題得證；
（2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M．如答圖2所示，設(shè)直線PC與對稱軸交于點(diǎn)N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，2）；其次利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個動點(diǎn)時，解題思路與（2）完全相同．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形、解方程等知識點(diǎn)，題目難度較大．第（2）（3）問均為存在型問題，且解題思路完全相同，可以互相借鑒印證．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個點(diǎn)中，四個點(diǎn)可以連接成一個四邊形，請你用字母寫出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫一個，寫錯、多寫記0分）
（2）證明其中任意一個特殊四邊形；
（3）寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動點(diǎn)，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸x=1上運(yùn)動，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時，x的取值范圍是（　�。�
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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