Question

【題目】某商品現(xiàn)在售價(jià)為每件40元，每天可賣(mài)200件，該商品將從現(xiàn)在起進(jìn)行90天的銷(xiāo)售：在第x（1≤x≤49）天內(nèi)，當(dāng)天售價(jià)都較前一天增加1元，銷(xiāo)量都較前一天減少2件；在x（50≤x≤90）天內(nèi)，當(dāng)天的售價(jià)都是90元，銷(xiāo)售仍然是較前一天減少2件，已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷(xiāo)售商品的當(dāng)天利潤(rùn)為y元．

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

（3）該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中，共有多少天當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于4800元？

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）銷(xiāo)售該商品第45天時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元．（3）共有41天當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于4800元．

【解析】

（1）根據(jù)：總利潤(rùn)=（售價(jià)﹣成本）×銷(xiāo)售量，結(jié)合x的取值范圍可列函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，比較大小可得答案；

（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，解不等式即可的x的范圍，可得答案

（1）當(dāng)1≤x≤49時(shí)，當(dāng)天售價(jià)為（40+x）元，出售商品（200﹣2x）件，∴y=（40+x﹣30）（200﹣2x）=﹣2x2+180x+2000；

當(dāng)50≤x≤90時(shí)，當(dāng)天售價(jià)為90元，出售量為（200﹣2x），∴y=（90﹣30）（200﹣2x）=﹣120x+12000；

∴y=．

（2）當(dāng)1≤x≤49時(shí)，y=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∴當(dāng)x=45時(shí)，y取得最大值6050；

當(dāng)50≤x≤90時(shí)，由y=﹣120x+12000知，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=50時(shí)，y取得最大值6000．

∵6050＞6000，∴銷(xiāo)售該商品第45天時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元．

（3）①當(dāng)1≤x≤49時(shí)，﹣2x2+180x+2000≥4800，

解得：20≤x≤70，∴20≤x≤49；

②當(dāng)50≤x≤90時(shí)，﹣120x+12000≥4800，

解得：x≤60，∴50≤x≤60；

綜上：20≤x≤60，∴從第20天起直到第60天止，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)都不低于4800元，

故共有41天當(dāng)天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于4800元．