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1.如圖,AB=6,O是AB的中點,直線l經(jīng)過點O,∠1=120°,P是直線l上一點,當△APB為直角三角形時,AP=3或33或37

分析 利用分類討論,當∠APB=90°時,分兩種情況討論,情況一:如圖1,易得∠PBA=30°,利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論;情況二:利用銳角三角函數(shù)得AP的長;如圖2,當∠BAP=90°時,如圖3,利用銳角三角函數(shù)得AP的長.

解答 解:當∠APB=90°時,分兩種情況討論,
情況一:如圖1,
∵AO=BO,
∴PO=BO,
∵∠1=120°,
∴∠AOP=60°,
∴△AOP為等邊三角形,
∴∠OAP=60°,
∴∠PBA=30°,
∴AP=12AB=3;
情況二:如圖2,∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=BO,
∵∠1=120°,
∴∠BOP=60°,
∴△BOP為等邊三角形,
∴∠OBP=60°,
∴AP=AB•sin60°=6×32=33;
當∠BAP=90°時,如圖3,
∵∠1=120°,
∴∠AOP=60°,
∴AP=OA•tan∠AOP=3×3=33,
當∠ABP=90°時,如圖4,

∵∠1=120°,
∴∠BOP=60°
∵OB=3,
∴PB=33,
∴PA=PB2+AB2=37,
故答案為:3或33或37

點評 本題主要考查了勾股定理,含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線,利用分類討論,數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

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