Question

（2012•昌平區(qū)二模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B和D（4，

2

3

）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找到點(diǎn)M，使得M到D、B的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)S=PQ²（cm²）．
①求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)S=

5

4

時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可；
（2）A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標(biāo)；
（3）①根據(jù)勾股定理和已知條件，可以求得PB、BQ的長度，即可求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式（0≤t≤1）；
②假設(shè)存在點(diǎn)R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出P、Q的坐標(biāo)，再分為兩種種情況根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，看能否使等式成立，能的話，這種情況就存在．

解答：解：（1）據(jù)題意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B和D（4，

2

3

），
∴

c=2 2=4a+2b+2 2 3 =16a+4b+2

，
∴

a=- 1 6 b= 1 3 c=2

，
∴y=-

1

6

x2+

1

3

x+2；

（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸x=1的對稱點(diǎn)為A．
連接AD，與對稱軸的交點(diǎn)即為M．
∵A（0，2）、D（4，

2

3

），
∴直線AD的解析式為：y=-

1

3

x+2，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

5

3

，
則M（1，

5

3

）；
（3）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
∴=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
②當(dāng)S=

5

4

時(shí)，

5

4

=5t²-8t+4
即20t²-32t+11=0，
解得：t=

1

2

，t=

11

10

＞1（舍）
∴P（1，2），Q（2，

3

2

）．
∴PB=1．
若R點(diǎn)存在，分情況討論：
（i）假設(shè)R在BQ的右邊，如圖所示，這時(shí)QR=PB，RQ∥PB，
則R的橫坐標(biāo)為3，R的縱坐標(biāo)為

3

2

，
即R（3，

3

2

），代入y=-

1

6

x2+

1

3

x+2，左右兩邊相等，
故這時(shí)存在R（3，

3

2

）滿足題意；
（ii）假設(shè)R在PB的左邊時(shí)，這時(shí)PR=QB，PR∥QB，
則R（1，

5

2

）代入y=-

1

6

x2+

1

3

x+2，左右兩邊不相等，
則R不在拋物線上
綜上所述，存點(diǎn)一點(diǎn)R，以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的平行四邊形只能是□PQRB．
則R（3，

3

2

）．
此時(shí)，點(diǎn)R（3，

3

2

）在拋物線=-

1

6

x2+

1

3

x+2上．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．此題綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的題目．