Question

【題目】如圖1，已知ABCD，AB∥x軸，AB＝6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，4），點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P在邊BC上，PD＝CD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)P在邊AB，AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q落在直線(xiàn)y＝x﹣1上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）

【解析】

（1）由題意點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，4）；（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，假設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，在每種情況中再分情況討論，分別求出點(diǎn)P關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，代入直線(xiàn)解析式列出方程即可解決問(wèn)題；

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，4），點(diǎn)B在第四象限，

∴∠DCB>90°，即PD為最長(zhǎng)邊，

∵PD=CD，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

∵CD＝AB=6，D（-3，4），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，4）．

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，

∵A（1，-4），D（-3，4），

∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝﹣2x﹣2，

設(shè)P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，

∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q1（a，2a+2），

∵Q1在直線(xiàn)y＝x﹣1上，

∴2a+2＝a﹣1，

解得a＝﹣3，

此時(shí)P（﹣3，4）．

∵點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q3（﹣a，﹣2a﹣2），且Q3在直線(xiàn)y＝x﹣1上時(shí)，

∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，

解得a＝﹣1，

此時(shí)P（﹣1，0）

②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，設(shè)P（a，﹣4）且1≤a≤7，

∵P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q2（a，4），且Q2在直線(xiàn)y＝x﹣1上，

∴4＝a﹣1，

解得a＝5，

此時(shí)P（5，﹣4），

∵點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q4（﹣a，﹣4），且Q4在直線(xiàn)y＝x﹣1上，

∴﹣4＝﹣a﹣1，

解得a＝3，

此時(shí)P（3，﹣4），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．