Question

3．如圖，四邊形ABCD中，兩對角線相交于E，且E為對角線BD的中點，∠DAE=30°，∠BCE=120°．若CE=1，BC=2，則AC的長為6．

Answer 1

分析 如圖，延長BC交AD的延長線于F，在AE上取一點K，使得EK=CE，連接DK、BK．由四邊形CDKB是平行四邊形，推出DK=BC=2，DK∥BF，由∠ACB=120°，推出∠FCA=180°-120°=60°，由∠DAC=30°，推出∠F=90°，∠ADK=∠F=90°，由∠DAK=30°，推出AK=2DK=4，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，延長BC交AD的延長線于F，在AE上取一點K，使得EK=CE，連接DK、BK．

∵DE=BE，EK=CE，
∴四邊形CDKB是平行四邊形，
∴DK=BC=2，DK∥BF，
∵∠ACB=120°，
∴∠FCA=180°-120°=60°，
∵∠DAC=30°，
∴∠F=90°，
∵DK∥BF，
∴∠ADK=∠F=90°，∵∠DAK=30°，
∴AK=2DK=4，
∴AC=AK+EK+CE=4+1+1=6，
故答案為6．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．