Question

【題目】如圖，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB＝4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸．若拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．

（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)D。在對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（Ⅲ）若在對(duì)稱(chēng)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方），且PQ=，請(qǐng)求出使四邊形BCPQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) y=（Ⅱ）（1，-）；（1，） （Ⅲ）P（1，）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性確定出點(diǎn)A（3,0），設(shè)y=a(x+1)(x-3)，利用相似三角形求出線(xiàn)段OC=,得出C（0，），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出a的值即可，（Ⅱ）求出點(diǎn)E、D的坐標(biāo)，然后分①當(dāng)點(diǎn)P在D下方，②當(dāng)點(diǎn)P在D下方，兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)可分別確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅲ）確定點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’（2，），過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，求出直線(xiàn)直線(xiàn)FC’的解析式，令x=1，可求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：(Ⅰ)∵AB=4,B(-1,0)， ∴OA=3，點(diǎn)A（3,0）

易算得OC=,∴C（0，）

設(shè)y=a(x+1)(x-3)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a=

∴y=

(Ⅱ)由y=得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.

當(dāng)x=1時(shí)，y=,∴E(1, )

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,由A（3,0），C（0，）

求得y=

當(dāng)x=1時(shí)，y=,∴D(1, ),則DE=

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于H點(diǎn)，則DH=.

在直角三角形ACO和ADP中，易求得AC=2,AD=,∴DC=.

①當(dāng)點(diǎn)P在D下方，且DP=DA=時(shí)，ΔPDC≌ΔADE。

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-）

②當(dāng)點(diǎn)P在D下方，且時(shí)，ΔCDP∽ΔADE，解得DP=.

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）

（Ⅲ）作點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，則C’（2，）。

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，使BF=PQ=，則F（-1，）,

連結(jié)FC’，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P。點(diǎn)P就為所求的點(diǎn)。

設(shè)直線(xiàn)FC’的解析式為y=mx+n。

將點(diǎn)C’（2，）和F（-1，）代入y=mx+n得m=

∴y=。

當(dāng)x=1時(shí)，y=, 即P（1，）