Question

（2010•越秀區(qū)二模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點(diǎn)，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，則下列結(jié)論中：①DE⊥EC，②AD•BC=BE•DE，③CE²=BC•CD，④AE²=AD•BC，⑤AD+BC=DC；正確的有（ ）
A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．5個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，易得到∠ADC+∠BCD=90°．再通過(guò)三角形的內(nèi)角和為180°，求得∠CED=90°，問(wèn)題得證．
②首先假設(shè)AD•BC=BE•DE成立．利用直角三角形中一條直角邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，證得△BCE∽△AED，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)證得AD•CE=BE•DE．從而得到BC=CE．與直角三角形的斜邊大于一條直角邊矛盾．
③在△BCE與△ECD中，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，證得CE²=BC•CD．
④利用相似三角形的性質(zhì)證得AE≠BE，使問(wèn)題得證．
⑤過(guò)E作EF⊥CD與點(diǎn)F．通過(guò)角邊角定理證得Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED．再利用全等三角形的性質(zhì)證得BC=FC，AD=FD．問(wèn)題得解．
解答：解：①∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠BCE=∠DCE=∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADE+∠BCE=（∠ADC+∠BCD）=×180°=90°，
在△CDE中，∠CED=180°-（∠ADC+∠BCD）=90°
∴DE⊥EC；
故該項(xiàng)成立．
②假設(shè)AD•BC=BE•DE成立．
由①知，∠CED=90°
∴∠AED+∠BEC=180°-∠CED=180°-90°=90°，
在Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴△BCE∽△AED，
∴，即AD•CE=BE•DE，
∴BC=CE，
∵直角三角形的斜邊＞它的直角邊
∴AD•BC=BE•DE不成立．
故該項(xiàng)不成立．
③∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
由①知，∠CED=90°=∠B，
∴△BCE∽△ECD，
∴，即CE²=BC•CD，
故該項(xiàng)成立．
④由②知，△BCE∽△AED，
∴，即AE•BE=AD•BC，
顯然AE≠BE，
故該選項(xiàng)不成立．
⑤過(guò)E作EF⊥CD與點(diǎn)F，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED，
∴BC=FC，AD=FD，
又∵CF+FD=BC，
∴AD+BC=DC，
故該選項(xiàng)正確．
綜上所述，正確的有①③⑤三個(gè)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性質(zhì)定理，做到靈活運(yùn)用．