Question

【題目】如圖，已知直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，

（1）求 k的值；

（2）利用圖形直接寫出不等式x＞的解；

（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn) A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為 24，求點(diǎn) P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）﹣4＜x＜0和x＞4．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，1）或（2，4）．

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=x上，故將其橫坐標(biāo)代入直線的解析式，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值；

（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式的解集；

（3）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，8a），根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對(duì)稱性即可得出四邊形APBQ為平行四邊形，結(jié)合四邊形面積為24以及三角形的面積公式即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可得出a值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

（1）∵直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 4，

∴×4=2，即：A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），

∴k=4×2=8， 即：k的值為 8．

（2）∵點(diǎn) A與點(diǎn) B關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），

又∵不等式x＞的解，是函數(shù)圖象上直線位于雙曲線上方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值，

∴由圖象可知：不等式 x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．

（3）作AM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N．設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，）．

∵P、Q 關(guān)于 O 點(diǎn)對(duì)稱，A、B 關(guān)于 O 點(diǎn)對(duì)稱，

∴四邊形 APBQ 為平行四邊形，

∴4S△OAP=24

∴S△OAP=6．

①當(dāng)點(diǎn) P 在直線 AB 的下方時(shí)，如圖 1 所示，

S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a=6，

∴a2﹣6a﹣16=0，

解得：a1=﹣2，a2=8，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，1）；

②當(dāng)點(diǎn) P 在直線 AB 的上方時(shí)，如圖 2 所示，

S△OAP=a+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6，

∴a2+6a﹣16=0，

解得：a1=2，a2=﹣8，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，1）或（2，4）．