Question

【題目】課本拓展

舊知新意：

我們容易證明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？

1．嘗試探究：

（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？

2．初步應用：

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=130°，則∠2-∠C= ；

（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關系？請利用上面的結論直接寫出答案 ．

3拓展提升：

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關系？為什么？（若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由）

Answer 1

【答案】（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA=360°-2∠P．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內角和定理整理即可得解；

（2）根據(jù)（1）的結論整理計算即可得解；

（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內角和定理列式整理即可得解；

（4）延長BA、CD相交于點Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結論整理即可得解．

試題解析：（1）∠DBC+∠ECB

=180°-∠ABC+180°-∠ACB

=360°-（∠ABC+∠ACB）

=360°-（180°-∠A）

=180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，

∴130°+∠2=180°+∠C，

∴∠2-∠C=50°；

（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，

∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），

在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；

即∠P=90°-∠A；

（4）延長BA、CD于Q，

則∠P=90°-∠Q，

∴∠Q=180°-2∠P，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，

=180°+180°-2∠P，

=360°-2∠P．