Question

如圖，已知拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：

X	…	-3	-2	1	2	…
y	…	- 5 2	-4	- 5 2	0	…

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；
（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接DF并延長至點(diǎn)M，使FM=k•DF，若點(diǎn)M不在拋物線P上，求k的取值范圍；
若因?yàn)闀r(shí)間不夠等方面的原因，經(jīng)過探索、思考仍無法圓滿解答本題，請(qǐng)不要輕易放棄，試試將上述（2）、（3）小題換為下列問題解答（已知條件及第（1）小題與上相同，完全正確解答只能得到5分）：
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），求矩形DEFG的面積．

Answer 1

分析：（1）可任選三組坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線P的解析式．然后根據(jù)拋物線P的解析式即可得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求矩形的面積需知道矩形的長和寬，可先在直角三角形AOC中，根據(jù)AD，OA，DG，CD的比例關(guān)系式，用m表示出DG的長，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的長，進(jìn)而可根據(jù)ED=EO+OD得出ED的長，然后由矩形的面積公式即可得出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的m的值．進(jìn)而可得出D，E，F(xiàn)，G的坐標(biāo)．如果設(shè)DF的延長線交拋物線于N點(diǎn)，那么可先求出FN與DF的比例關(guān)系．如果過N作x軸的垂線設(shè)垂足為H，那么我們可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均為F，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，因此要先求出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可先根據(jù)D、F的坐標(biāo)求出直線DF的解析式，然后聯(lián)立直線DF的解析式與拋物線P的解析式求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)上述比例關(guān)系求出FN、DF的比例關(guān)系，如果求出此時(shí)FN=k₁DF，那么由于M不在拋物線上，因此k的取值范圍就是k＞0，且k≠k₁．
若選（2）可參照上面（2）的求解過程進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）解法一：設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三組值代入，

4a-2b+c=-4 a+b+c=- 5 2 4a+2b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=1 c=-4

，
∴解析式為y=

1

2

x2+x-4，
令y=0，求出x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得y=-4，
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）由題意，

AD

AO

=

DG

OC

，
而AO=2，OC=4，AD=2-m，
故DG=4-2m，
又

BE

BO

=

EF

OC

，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．
注：也可通過解Rt△BOC及Rt△AOC，或依據(jù)△BOC是等腰直角三角形建立關(guān)系求解．

（3）∵S_DEFG=-6m²+12m=-6（m-1）²+6，（0＜m＜2），
∴m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6．
當(dāng)矩形面積最大時(shí)，其頂點(diǎn)為D（1，0），G（1，-2），F(xiàn)（-2，-2），E（-2，0），
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=

2

3

，b=-

2

3

，
∴y=

2

3

x-

2

3

，
又可求得拋物線P的解析式為：y=

1

2

x2+x-4，
令

2

3

x-

2

3

=

1

2

x2+x-4，可求出x=

-1± 61

3

．
設(shè)射線DF與拋物線P相交于點(diǎn)N，則N的橫坐標(biāo)為

-1- 61

3

，過N作x軸的垂線交x軸于H，有

FN

DF

=

HE

DE

=

-2- -1- 61 3

3

=

-5+ 61

9

，
點(diǎn)M不在拋物線P上，即點(diǎn)M不與N重合時(shí)，此時(shí)k的取值范圍是
k≠

-5+ 61

9

且k＞0．

若選擇另一問題：
（2）∵

AD

AO

=

DG

OC

，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，
又∵

FG

AB

=

CP

OC

，而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，
∴S_DEFG=DG•FG=6．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．