Question

已知P（m，a）是拋物線y=ax²上的點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限．
（1）求m的值
（2）直線y=kx+b過點(diǎn)P，交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交拋物線于另一點(diǎn)M．
①當(dāng)b=2a時(shí)，∠OPA=90°是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，舉出一個(gè)反例說明；
②當(dāng)b=4時(shí)，記△MOA的面積為S，求

1

s

的最大值．

Answer 1

分析：（1）將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出m的值（要注意P點(diǎn)在第一象限的判定條件）．
（2）①先將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，根據(jù)b=2a的條件可用a表示出直線AM的斜率．然后根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)求出直線OP的斜率，由于OP⊥AM，因此直線OP與直線AM的斜率的積為-1，由此可求出a的值．因此本題的就結(jié)論應(yīng)該是成立的．
②求三角形MOA的面積，可以O(shè)A為底，以M點(diǎn)縱坐標(biāo)為高，將b=4代入直線AM的解析式中，用a替換掉斜率k，然后求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；然后聯(lián)立拋物線的解析式求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用三角形面積公式求出S的表達(dá)式，即可得出

1

S

與a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最大值．

解答：解：（1）m²a=a（a＞0），
m²=1（m＞0），
即m=1；


（2）①b=2a，y=kx+2a，
P在直線上，則a=k+2a，即a=-k（k＜0）
則kx+2a=0，即x=-

2a

k

=-

-2k

k

=2，
A（2，0）
-kx²=kx-2k?x²+x-2=0?（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-2，4a）
∠OPA=90°
即a²=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x²
P（1，1）
故當(dāng)a=1時(shí)，∠OPA=90°成立，即當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，∠OPA=90°不成立；

②當(dāng)b=4時(shí)，直線y=kx+b即為直線y=kx+4，
kx+4=0?x=-

4

k

又∵直線y=kx+4過點(diǎn)P（1，a），
∴k+4=a?k=a-4，
（a-4）x+4=ax²
即ax²-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=

4

4-a

•

16

a

•

1

2

=

32

4a-a2

1

S

=

1

8

a-

1

32

a²=-

1

32

（a-2）²+

1

8

，
∴當(dāng)a=2時(shí)，

1

S

_max=

1

8

．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)算能力．