在△ABC中,AD是角平分線(xiàn),AE是高線(xiàn)
①如圖1所示,∠ABC=40°,∠ACB=70°,求∠DAE.
②如圖2所示,∠ABC=30°,∠ACB=110°,求∠DAE.
③根據(jù)①、②兩題的計(jì)算結(jié)果,請(qǐng)猜想∠DAE與∠ABC和∠ACB之間的關(guān)系.(用等式表示出來(lái))
①∵∠ABC=40°,∠ACB=70°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=
1
2
∠BAC=
1
2
×70°=35°,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∵∠C=70°,
∴∠EAC=180°-90°-70°=20°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-20°=15°.

②∵∠ABC=30°,∠ACB=110°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=
1
2
∠BAC=
1
2
×40°=20°,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∵∠C=110°,
∴∠EAC=∠ACB-∠AEC=110°-90°=20°,
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=20°+20°=40°.

③∠DAE=
1
2
∠ACB-
1
2
∠ABC,理由如下:
分為兩種情況:如圖1,
∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB),
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=
1
2
[180°-(∠ABC+∠ACB)]=90°-
1
2
∠ABC-
1
2
∠ACB,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴∠CAE=90°-∠ACB,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(90°-
1
2
∠ABC-
1
2
∠ACB)-(90°-∠ACB)=
1
2
∠ACB-
1
2
∠ABC;
如圖2,
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=
1
2
∠BAC=
1
2
×(180°-∠ABC-∠ACB)=90°-
1
2
∠ABC-
1
2
∠ACB,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴∠EAC=∠ACB-∠AEC=∠ACB-90°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAD=90°-
1
2
∠ABC-
1
2
∠ACB+∠ACB-90°=
1
2
∠ACB-
1
2
∠ABC.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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