Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)A，B在x軸上，△MBC是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)M作直線l與x軸垂直，交⊙M于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)M，且點(diǎn)D平分 ．

（1）求過A，B，E三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求證：四邊形AMCD是菱形；
（3）請問在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積等于定值5？若存在，請求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知，△MBC為等邊三角形，點(diǎn)A，B，C，E均在⊙M上，

則MA=MB=MC=ME=2，

又∵CO⊥MB，

∴MO=BO=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），

拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），

設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）2﹣2（a≠0）

把點(diǎn)B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，

解得：a= ，

故二次函數(shù)解析式為：y= （x+1）2﹣2；

（2）

證明：

連接DM，

∵△MBC為等邊三角形，

∴∠CMB=60°，

∴∠AMC=120°，

∵點(diǎn)D平分弧AC，

∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，

∵M(jìn)D=MC=MA，

∴△MCD，△MDA是等邊三角形，

∴DC=CM=MA=AD，

∴四邊形AMCD為菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）；

（3）

解：存在．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）

∵S△ABP= AB|n|，AB=4

∴ ×4×|n|=5，

即2|n|=5，

解得：n=± ，

當(dāng) 時(shí)， （m+1）2﹣2= ，

解此方程得：m1=2，m2=﹣4

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2， ），（﹣4， ），

當(dāng)n=﹣ 時(shí)， （m+1）2﹣2=﹣ ，

此方程無解，

故所求點(diǎn)P坐標(biāo)為（2， ），（﹣4， ）．

【解析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意首先求出拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，進(jìn)而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出△ABP的面積進(jìn)而求出n的值，再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點(diǎn)坐標(biāo)．